ОЛОНЛОГ

Олонлог ба түүн дээрх үйлдлүүд 

Математикт нэгэн ижил зүйлүүдийг нэг бүхэл болгон байнга судалдаг. Тухайлбал: натурал тоо, гурвалжин, квадрат гэх мэт. Эдгээр бүх ялгаатай бөөгнөрлийг олонлог гэнэ. Латин цагаан толгойн том үсгээр олонлогийг тэмдэглэнэ. (A, B, C…, Z.) 

Нэг ч элемент агуулаагүй олонлогийг хоосон олонлог гэж нэрлээд ∅ гэж тэмдэглэдэг. Олонлогийг бүрдүүлж байгаа объектыг түүний элементүүд гэж нэрлээд латин цагаан толгойн жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. << а объект А олонлогт харъяалагдана>> гэдгийг a∈A гэж тэмдэглэнэ. Харин << а объект А олонлогт харъяалагдахгүй>>гэдгийг a∉A гэж бичнэ.

Олонлог төгсгөлөг, эсвэл төгсгөлгүй байна. Эдгээр ойлголтыг тодорхойлолтгүйгээр ашиглана. Ж.нь: Долоо хоногийн өдрийн олонлог жилийн, сарын олонлог төгсгөлөг олонлог ба харин шулууны цэгүүдийн олонлог, натурал тооны олонлог төгсгөлгүй олонлог юм.

Математикт тоон олонлогийг:

N– натурал тоон олонлог

Z– бүхэл тоон олонлог

Q– рационал тоон олонлог

R– бодит тоон олонлог гэж тус тус тэмдэглэдэг

ОЛОНЛОГИЙГ ӨГӨХ АРГУУД

Олонлогийг өөрийн элементүүдээр тодорхойлогддог гэж үзэж болно. Ө.х хэрэв дурын объектын олонлогт харъяалагдах , эсвэл харъяалагдахгүйн тухай ярьж байвал олонлог өгөгдсөн хэрэг. Бүх элементийг нь тоочиж олонлогийг өгч болно. Тухайлбал : “А олонлог хонь, ямаа, үхэр, адуу, тэмээнээс бүрдэнэ” гэвэл А олонлогийн бүх элементийг тоочсон хэрэг. Энэ үед их хаалтанд бүх элементийг жагсаан бичдэг. А={ хонь , ямаа, үхэр,адуу, тэмээ}.
Гэвч хэрэв олонлогийн элементийн тоо хэт олон бол тэдгээрийг тоочин бичих боломжгүй. Энэ тохиолдолд олонлогийн элементүүдийг тодорхойлох шинж чанаараар нь илэрхийлэх гэсэн өөр аргыг хэрэглэдэг.
Олонлогийн элемент бүрийн хувьд биелдэг, түүнд харъяалагдахгүй нэг ч элементийн хувьд биелдэггүй чанарыг олонлогийн элементийг тодорхойлох шинж чанар гэнэ.

ОЛОНЛОГУУДЫН ХООРОНДЫН ХАРЬЦАА

Математикт олонлог төдийгүй тэдгээрийн хоорондын харьцаа, харилцан хамаарлыг судалдаг. Олонлогийн тухай ухагдахуун нь янз бүрийн бөөгнөрлүүдийн хоорондох харилцан хамаарлын тодорхой тохиолдлуудыг ерөнхийлөх ба тэдгээрийг нэг үзэл санаагаар тайлбарлах боломжийг буй болгодог. В олонлог А олонлогт багтаж байна, эсвэл В олонлог А олонлогийн дэд олонлог болж байна гээд B⊂A гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв В олонлогийн бүх элемент А олонлогийн элемент болж байвал В-г А олонлогийн дэд олонлог гэнэ. Хоосон олонлогийг дурын олонлогийн дэд олонлог гэж үзнэ. Дурын олонлог өөрийнхөө дэд олонлог болно. B⊂A А⊂В бол А, В олонлогуудыг тэнцүү олонлогууд гээд А=В гэж тэмдэглэнэ.

Леонард Эйлер (1707-1783). Олонлогуудын хоорондох харьцааг Эйлерийн дугуй (Веннийн диаграмм гэж нэрлэх нь бий) гэгдэх онцгой зураглалаар дүрсэлдэг.

Хэрэв А ба В олонлогууд ерөнхий элементтэй боловч аль нь ч нөгөөгийнхөө дэд олонлог болохгүй (a). Хэрэв В олонлог А олонлогийн дэд олонлог болж байвал (в). Хэрэв А олонлог В олонлогийн дэд олонлог болж байвал (с). Хэрэв тэнцүү олонлогууд байвал (d) зураг шиг дүрслэгдэнэ.

ОЛОНЛОГУУДЫН НЭГДЭЛ
Зөвхөн А, эсвэл В олонлогт харъяалагдах элементүүдээс бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогийн нэгдэл гэнэ. А ба В олонлогийн нэгдлийг A∪B гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлолт ёсоор

A∪B={x|x∈A эсвэл х∈В}
Хэрэв А ба В олонлогийн элементүүд тоочиж өгөгдсөн бол олонлогийн элементийг олохдоо А эсвэл В олонлогт харъяалагдах элементүүдийг тоочиход л хангалттай.

ОЛОНЛОГУУДЫН ОГТОЛЦЛОЛ

А олонлогт ч , В олонлогт ч харъяалагдах элементүүдээс бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогийн огтлолцол гэнэ. А ба В олонлогийн огтлолцлыг A∩B гэж тэмдэглэдэг. Тодорхойлолт ёсоор A∩B={x|x∈A ба x∈B }гэж бичнэ.

Хэрэв А ба В олонлогийг Эйлер Веннийн дугуйгаар дүрсэлбэл өгөгдсөн олонлогуудын огтолцлол зурааслагдсан хэсэг болно.

А ба В олонлог ерөнхий элементгүй үед тэдгээрийн огтлолцлыг хоосон гээд A∩B=∅ гэж тэмдэглэнэ.
Хэрэв А ба В олонлогийн элементүүдийг тоочсон бол олонлогийг олохдоо А ба В олонлогт хоёуланд нь харъяалагдах элементүүдийг , ө.х тэдгээрийн ерөнхий элементийг тоочиход хангалттай.

ОЛОНЛОГУУДЫН ЯЛГАВАР , ГҮЙЦЭЭЛТ

А олонлогт харьяалагддаг боловч, В олонлогт харьяалагддагүй элементүүдээс зөвхөн бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогуудын ялгавар гэнэ. А ба В олонлогийн ялгаврыг А\ В гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлолт ёсоор A∖B={x|x∈A ба x∉B} байна.
Хэрэв В олонлог нь А олонлогийн дэд олонлог болж байвал А\В ялгаварыг В олонлогийн А олонлог хүртэлх гүйцээлт гэх ба В А гэж тэмдэглэдэг.
А-д харъяалагддаг ба В-д харьяалагддаггүй элементүүдээс бүрдэх олонлогийг В олонлогийн А олонлог хүртэлх гүйцээлт гэнэ.

ОЛОНЛОГИЙГ АНГИУДАД ХУВААХ НЬ

Олонлогийн ямар ч хуваалт нь тухайн олонлогийн элементүүдийг дэд олонлогуудад хуваах замаар үүсэж буй болно. Энэ үед дараах нөхцөлийг хангаж байвал Х олонлогийг                       Х1 , Х2, .........Хn ангицдад хуваасан хуваалт гэнэ. Үүнд:

1. Х1 , Х2, .........Хn дэд олонлогууд хоорондоо үл огтлолцоно.

2. Х1 , Х2, .........Хn дэд олонлогуудын нэгдэл Х олонлог байна.

Олонлогийг ангиудад хуваах нь түүний дэд олонлогийг ялгах үйлдэл учир ангиудад хуваах үйлдлийг элементийн шинж чанараар гүйцэтгэж болно.

Олонлогуудын декарт үржвэр

А ба В олонлогуудын декарт үржвэр гэж эхний координат нь А олонлогт харьяалагдах бүх хосоос бүрдэх олонлогийг хэлнэ. А ба В олонлогийн декарт үржвэрийг АхВ гэж тэмдэглэдэг. Энэ тэмдэглэгээг ашиглан декарт үржвэрийг АхВ={(x;y)xEA ба y E B}

Бодлого:
Хэрэв a) А={m;p}, B={e; f; k}; b) A=B={3;5} бол А,В-ийн декарт үржвэрийг ол.

Бодолт: а) тодорхойлолт ёсоор нэгдүгээр координатыг А-аас хоёрдугаар координатыг В-ээс тус тус сонгон авч бүх хосыг үүсгэвэл:
АхВ={(m; e), (m; f), (m; k), (p; e), (p; f), (p;k)}.
б) Өгөгдсөн олонлогуудын элементүүдээс бүх боломжит хосыг үүсгэж, тэнцүү олонлогуудын декарт үржвэрийг олбол: АхА= {(3; 3), (3; 5), (5; 3), (5; 5)}
Декарт үржвэр олох үйлдлийг декартаар үржүүлэх гэж нэрлэдэг. Энэ үйлдлийн хувьд ямар чанарууд биелэхийг авч үзье. А, В олонлог ялгаатай элементтэй үед АхВ, ВхА декарт үржвэрүүд ялгаатай элементүүдтэй тул декартаар үржүүлэх үйлдэлд байр солих чанар биелэхгүй. Мөн декартаар үржүүлэх үйлдлийн хувьд бүлэглэх чанар биелэхгүйг баталж болно. Гэвч нэгдэл ба ялгаварын хувьд бүлэглэх чанар биелэхгүйг баталж болно. Гэвч нэгдэл ба ялгаварын хувьд декарт үржвэр нь дистрибутив чанартай. Ө.х дурын А, В, С олонлогуудын хувьд

1) (AUB)×C=(A×C)U (B×C)
2) (A\B)×C=(A×B)\(B×C) байна.

Хэрэв А, В олонглогууд төгсгөлөг цөөн тооны элементтэй бол тэдгээрийн декарт үржвэрийг график, эсвэл хүснэгт ашиглан дүрсэлж болно.
Тоон хоёр олонлогийн (төгсгөлөг ба төгсгөлгүй) декарт үржвэрийг хос тоо бүр нь хавтгайн цэгийг дүрслэхээр координатын хавтгай дээр дүрсэлж болно.
Хоёр тоон олонлогийн декарт үржвэрийг дүрслэх энэ арга нь хоёр олонлогийн ядаж нэг нь төгсгөлгүй тохиолдолд хэрэглэхэд тохиромжтой байдаг.
Тодорхойлолт:A1, A2, …., An олонлогуудын декарт үржвэр гэж эхний компонент нь олонлогт, хоёр дахь компонент нь олонлогт ,..., n дэх компонент нь олонлогт харьяалагдах n урттай бүх кортежуудын олонлогийг хэлнэ.

Хэллэгийн конъюнкц ба дизъюнкц

А ба В дурын хэллэг байг. Тэдгээрийг <<ба>> холбоосоор холбож нийлмэл хэллэг үүсгэе. Түүнийг коньюнкц гэж нэрлээд В гэж тэмдэглэн <<А ба В>> гэж уншина. 

Тодорхойлолт: А ба В хэллэг нэгэн зэрэг үнэн үед, ядаж нэг нь худал байхад худал байдаг хэллэгийг А ба В хэллэгийн коньюнкц гээд В гэж тэмдэглэдэг. 

Ярианы хэлэнд коньюнкцийг зөвхөн <<ба>> холбоосоос гадна өөр холбоосоор илэрхийлдэг.

Жишээ: <<харин>>, <<гэвч>>, <<гэтэл>>, <<зөвхөн....-ээс төдийгүй (гадна)...>> үгээр Тухахйлбал, <<14гэсэн тоо 7-оос гадна 2-д хуваагдана>>.
А ба В дурын хэллэг байг. Тэдгээрийг <<эсвэл>> холбоосоор холбож нийлмэл хэллэг үүсгэе. Түүнийг дизъюнкц гэж нэрлээд А ̬ В гэж тэмдэглэн <<А, эсвэл В>> гэж уншина. 

Тодорхойлолт: А ба В хэллэгүүдийн ядаж нэг нь үнэн байхад үнэн, хоёулаа худал байдаг хэллэгийг А ба В хэллэгийн дизъюнкц гээд А ̬ В гэж тэмдэглэдэг.

Логик холбоосоор нийлж хэллэг үүсгэхийг логик үйлдэл гэнэ. <<ба>> холбоост харгалзах үйлдлийг коньюнкц, <<эсвэл>>холбоост харгалзах үйлдлийг дизъюнкц гэж тус тус нэрлэдэг. Логик үйлдлийн нэр ба тэдгээрийн үр дүн (нийлмэл өгүүлбэр) адилхан нэрлэгддэг. Коньюнкц, дизъюнкцийн тодорхойлолтыг тэдгээрийн бүрдүүлэгч t ширхэг хэллэгээр өргөтгөж болно.

Хэллэгийг бүрдүүлэгч бүх хэллэг үнэн үед л үнэн байх A1, A2, …., At  хэлбэрийн өгүүлбэрийг t-хэллэгийн коньюнкц гэнэ. 

Харин худал үед л худал байх A1, A2, …., At  хэлбэрийн өгүүлбэрийг t-хэллэгийн дизъюнкц гэнэ. 

ТӨГСГӨЛӨГ ОЛОНЛОГИЙН НЭГДЭЛ БА ОГТЛОЛЦЫН ЭЛЕМЕНТИЙН ТОО

Хэрэв А олонлог а ширхэг элементтэй , B олонлог b элементтэй ба А , B олонлогууд огтлолцохгүй байвал А , B олонлогуудын нэгдэл олонлогийн элементийн тоо а+b байна.
Томъёолбол : n( AUB )=n(A)+n(B)= a+b ( 1 )
Төгсгөлөг , үл огтлолцох олонлогуудын нэгдэл олонлогийн элементийн тоог (1) томъёогоор олно.
Ерөнхий тохиолдолд төгсгөлөг 2 олонлогийн нэгдлийн элементийн тоог n(AUB)= n(A)+n(B)- n(A огтолцол B) (2) томъёогоор тооцоолж олно.

Жишээ бодлого:

100 жуулчны 28 нь англи хэл, 42 франц, 34 герман, 8 англи ба герман, 10 англи ба франц, 5 герман ба франц хэл тус тус мэддэг. Энэ хэлийг гурвууланг нь мэддэг 3 жуулчин байв. Зөвхөн нэг хэл мэддэг жуулчин хэд байх вэ? Алийг нь ч мэддэггүй жуулчин хэд байх вэ?

Бодолт:

Англи хэл мэддэг жуулчин - А

Герман хэл мэддэг жуулчин – B

Франц хэл мэддэг жуулчин - C

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)-n(C)-n(A∩C)-n(A∩B)-n(C∩B)+n(A∩B∩C)= 28 + 42 + 34 -8 – 10 -5+3 = 84

100-84 = 16 (аль ч хэлийг нь мэддэггүй жуулчин)

ТӨГСГӨЛӨГ ОЛОНЛОГУУДЫН ДЕКАРТ ҮРЖВЭРИЙН ЭЛЕМЕНТИЙН ТОО

Олонлогуудын декарт үржвэрийг үүсгэж , түүний элементүүдийг тоолохгүйгээр элементийн тоог хэрхэн олох вэ? Хэрэв А олонлогийн элементийн тоо - а , B олонлогийн элементийн тоо - в байвал А ба В олонлогуудын декарт үржвэрийн элементийн тоо а ∙ в болно. n(A x B)=n(A) ∙ n(B) = a∙b

Жишээ : 5 , 4 ба 7 цифр ашиглан 2 оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ?

Бодтын бодомжит хувилбарын тоог олохдоо боломжит хувилбаруудын мод гэж нэрлэгдэх модны загвар юм.

Өгсөн бодлогийн энэ тохиолдолд A= {5 , 4 , 7} олонлогийн элементээс хос үүсгэнэ. Тэр хосын тоог олох ёстой. Ө.х АхА декартын үржвэрийн элементийн тоог олно. Өмнөх томъёогоор n(AxA)=n(A) ∙n (A)= 3∙3=9 болно. Ингэхлээр 5 , 4 ба 7 цифрээр бичигдэх хоёр оронтой тоо 9 байна.

УХАГДАХУУНЫ ТОДОРХОЙЛОЛТ

Математикийн ухагдахууныг 4 үндсэн хэсэгт хувааж үздэг.

1. Тоо ба түүн дээрх үйлдлүүдтэй холбоотой ухагдахуунууд багтана. Үүнд: тоо, нэмэх үйлдэл, нэмэгдэхүүн , их тоо гэх мэт
2. Алгебрийн ухагдахуунууд ордог. Үүнд: илэрхийлэл, тэнцэтгэл, тэгшитгэл гэх мэт.
3. Геометрийн ухагдахуунууд бүрдүүлнэ. Үүнд: шулуун , хэрчим, гурвалжин гэх мэт.
4. Хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн хэмжилттэй холбоотой ухагдахуунууд үүсгэнэ.

Математик ухагдахууны онцлог

Математикийн объект нь бодитоор оршин байдаггүй ухагдахууныг буй болгох ба тэр нь зөвхөн хүний оюун ухаанд бий болдог. Эдгээр зохиомол объект нь бодит юмс , эсвэл үзэгдлийн тусгал байдаг.
Ж.нь: Геометрт юмсын хэлбэр ба хэмжээг судлахаас биш харин тэдгээрийн бусад шинж чанар болох өнгө , масс , хатуулаг чанар гэх мэт зүйлийг авч үздэггүй.
Тэдгээр зүйлсээс тусгаарлагдан хийсвэрлэгдсэн байдаг. Иймээс геометрт << юм, зүйл >> гэдэг үгйин оронд << геометрийн дүрс >> гэж ярьдаг.

УХАГДАХУУНЫ АГУУЛГА БА БАГТААМЖ , УХАГДАХУУН ХООРОНДЫН ХАРЬЦАА

Ухагдахууны багтаамж гэж юу вэ?

Нэг нэр томъёогоор тэмдэглэгдэх объектуудын олонлогийг ухагдахууны багтаамж гэнэ. Ямар ч ухагдахуун багтаамжаас гадна агуулгатай байдаг.

Ухагдахууны агуулга гэж юу вэ?

Тухайн ухагдахуунд хамаарагдах объектын бодит бүх шинж чанарын олонлогийг ухагдахууны агуулга гэнэ. Ж.нь : << тэгш өнцөгт >> гэсэн ухагдахууны хувьд багтаамж нь янз бүрийн тэгш өнцөгтүүдийн олонлог , харин агуулга нь << дөрвөн өнцөг тэгш өнцөг байх>> ,<< эсрэг орших талууд нь хэмжээгээрээ тэнцүү>> , << диагналууд нь тэнцүү байх>> гэх мэт тэгш өнцөгтийн чанарууд болно.

Багтаамж олонлог байдаг учир ухагдахууны багтаамжууд агуулагдлын харьцаанд оршдог. Хэрэв А с В (A B) байвал а - ухагдахууныг b - ухагдахуунтай хэлбэрийн (видовое буюу агуулагдлын ) харьцаанд , харин b - ухагдахууныг
а– ухагдахуунтай төрлийн (родовое буюу агуулахын ) харьцаанд оршиж байна гэнэ.

Багтаамж агуулга хоорондоо ямар харьцаанд байх вэ?

· хэлбэрийн харьцаа

· төрлийн харьцаа

· адилтгал тэнцүү ухагдахуун

Хэрэв А ба В олонлогууд агуулагдлын харьцаанд оршихгүй байвал хэлбэр болон төрлийн харьцаанд оршихгүй ба адилтгал тэнцүү харьцаанд ч оршихгүй. Ж.нь << гурвалжин>> ба << тэгш өнцөгт >> гэсэн ухагдахуунууд аль ч харьцаанд хамаарагдахгүй.

· Ухагдахууны багтаамж нь олонлог учир ухагдахууны багтаамжийн хоорондын харьцааг Эйлерийн дугуйгаар дүрслэх нь тохиромжтой байдаг. Ж.нь: дараах а , b хос ухагдахууны хоорондын харьцааг тогтооё. Үүнд:

1. а - << тэгш өнцөгт >> , b - <<ромбо>>

2. а - << олон өнцөгт >> , b - << параллелограмм >>

3. а -шулуун>> , b - << хэрчим>>

1. Ухагдахуунуудын багтаамж огтолцох боловч нэг нь нөгөөгийнхөө дэд олонлог болохгүй. (1-р зураг) Иймд өгсөн а.b ухагдахуунууд хэлыэр болон төрлийн харьцаанд оршихгүй.

2. Өгсөн ухагдахуунуудын багтаамж агуулагдлын харьцаанд орших ба давхцахгүй. Учир нь ямар ч параллелограмм олон өнцөгт болох ба харин урвуу өгүүлбэр нь худал байна. (2-р зураг) Иймд << параллелограмм>> гэсэн ухагдахуун <<олон өнцөгт>> гэсэн ухагдахуунтай хэлбэрийн харьцаанд орших, харин << олон өнцөгт >> гэсэн ухагдахуун <<параллелограмм >> гэсэн ухагдахуунтай төрлийн харьцаанд оршихыг баталж байна.

3. Нэг ч хэрчим шулуун болохгүй , нэг ч шулуун хэрчим болохгүй учир ухагдахуунуудын багтаамжууд огтолцохгүй. (3-р зураг) Иймд өгсөн ухагдахуунууд хэлыэр болон төрлийн харьцаанд оршихгүй.
<< шулуун>> , << хэрчим>> ухагдахуунуудыг бүхлээр болон хэсгийн харьцаанд орших тухай авч үзэж болно. Хэрчим бол шулууны хэсэг ба харин түүнтэй хэлыэрийн харьцаанд оршихгүй. Учир нь хэрэв хэлбэрийн харьцаанд оршвол түүний төрлийн бүх шинжийг хадгалах ёстой. Гэтэл хэсэг нь бүхлийн бүх шинжийг агуулах албагүй. Ж.нь: хэрчим шулууны төгсгөлгүй байх шинжийг агуулахгүй.

ХЭЛЛЭГ БА ХЭЛЛЭГЖИХ ХЭЛБЭР

Математикт үнэн, эсвэл худал утга санааг илэрхийлсэн хүүрнэх өгүүлбэрийг хэллэг гэнэ.
Хэллэгийг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг. Үүнд: A, B, C …., Z. Хэрэв А хэллэг үнэн бол А- <<ү>>, худал бол А-<<х>> гэж тус тус тэмдэглэдэг. <<Үнэн>> ба <<худал>> байх боломжийг хэллэгийн үнэний утга гэдэг. Хэллэг бүр эсвэл үнэн, эсвэл худал байх ба нэгэн зэрэг үнэн, худал байж болохгүй. Хэллэгжих хэлбэрт оролцож байгаа хувьсагчийн тоогоор түүнийг нэг байрт , хоёр байрт гэх мэтээр нэрлэж, А(x), A(x,y) гэх мэтээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь: х+8=6 гэвэл нэг байрт, <<х-шулуун у-шулуунтай параллель>> гэвэл хоёр байрт хэллэгжих хэлбэр юм.

Хэллэгжих хэлбэрт хувьсагч нь далд байж болно. Жишээ: <<тэгш тоо >>, << хоёр шулуун огтолцож байна>> гэсэн өгүүлбэрүүд нь хувьсагчгүй боловч <<х-тэгш тоо>> ,<<х ба у хоёр шулуун огтолцож байна>> гэж ойлгогддог. Хэллэгжих хэлбэрийг өгөхдөө түүний хувьсагчийн авах утгын олонлогийг өгдөг. Тэр олонлогийг хэллэгжих хэлбэрийн тодорхойлогдох муж гэнэ. Хувьсагч нь Х-олонлогоос утгаа авахад хэллэг болох хувьсагчтай өгүүлбэрийг Х олонлогт өгөгдсөн нэг байрт хэллэгжих хэлбэр гэнэ.

Логикт <<ба>>, <<эсвэл>>, <<хэрвээ ..... бол .... >>, <<зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь>> үг болон <<гүй>> төгсгөл (<< ..... гэдэг нь худал>> холбоос үгийг логикийн холбоос гэнэ.)