ОЛОНЛОГ

Олонлог ба түүн дээрх үйлдлүүд 

Математикт нэгэн ижил зүйлүүдийг нэг бүхэл болгон байнга судалдаг. Тухайлбал: натурал тоо, гурвалжин, квадрат гэх мэт. Эдгээр бүх ялгаатай бөөгнөрлийг олонлог гэнэ. Латин цагаан толгойн том үсгээр олонлогийг тэмдэглэнэ. (A, B, C…, Z.) 

Нэг ч элемент агуулаагүй олонлогийг хоосон олонлог гэж нэрлээд ∅ гэж тэмдэглэдэг. Олонлогийг бүрдүүлж байгаа объектыг түүний элементүүд гэж нэрлээд латин цагаан толгойн жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. << а объект А олонлогт харъяалагдана>> гэдгийг a∈A гэж тэмдэглэнэ. Харин << а объект А олонлогт харъяалагдахгүй>>гэдгийг a∉A гэж бичнэ.

Олонлог төгсгөлөг, эсвэл төгсгөлгүй байна. Эдгээр ойлголтыг тодорхойлолтгүйгээр ашиглана. Ж.нь: Долоо хоногийн өдрийн олонлог жилийн, сарын олонлог төгсгөлөг олонлог ба харин шулууны цэгүүдийн олонлог, натурал тооны олонлог төгсгөлгүй олонлог юм.

Математикт тоон олонлогийг:

N– натурал тоон олонлог

Z– бүхэл тоон олонлог

Q– рационал тоон олонлог

R– бодит тоон олонлог гэж тус тус тэмдэглэдэг

ОЛОНЛОГИЙГ ӨГӨХ АРГУУД

Олонлогийг өөрийн элементүүдээр тодорхойлогддог гэж үзэж болно. Ө.х хэрэв дурын объектын олонлогт харъяалагдах , эсвэл харъяалагдахгүйн тухай ярьж байвал олонлог өгөгдсөн хэрэг. Бүх элементийг нь тоочиж олонлогийг өгч болно. Тухайлбал : “А олонлог хонь, ямаа, үхэр, адуу, тэмээнээс бүрдэнэ” гэвэл А олонлогийн бүх элементийг тоочсон хэрэг. Энэ үед их хаалтанд бүх элементийг жагсаан бичдэг. А={ хонь , ямаа, үхэр,адуу, тэмээ}.
Гэвч хэрэв олонлогийн элементийн тоо хэт олон бол тэдгээрийг тоочин бичих боломжгүй. Энэ тохиолдолд олонлогийн элементүүдийг тодорхойлох шинж чанаараар нь илэрхийлэх гэсэн өөр аргыг хэрэглэдэг.
Олонлогийн элемент бүрийн хувьд биелдэг, түүнд харъяалагдахгүй нэг ч элементийн хувьд биелдэггүй чанарыг олонлогийн элементийг тодорхойлох шинж чанар гэнэ.

ОЛОНЛОГУУДЫН ХООРОНДЫН ХАРЬЦАА

Математикт олонлог төдийгүй тэдгээрийн хоорондын харьцаа, харилцан хамаарлыг судалдаг. Олонлогийн тухай ухагдахуун нь янз бүрийн бөөгнөрлүүдийн хоорондох харилцан хамаарлын тодорхой тохиолдлуудыг ерөнхийлөх ба тэдгээрийг нэг үзэл санаагаар тайлбарлах боломжийг буй болгодог. В олонлог А олонлогт багтаж байна, эсвэл В олонлог А олонлогийн дэд олонлог болж байна гээд B⊂A гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв В олонлогийн бүх элемент А олонлогийн элемент болж байвал В-г А олонлогийн дэд олонлог гэнэ. Хоосон олонлогийг дурын олонлогийн дэд олонлог гэж үзнэ. Дурын олонлог өөрийнхөө дэд олонлог болно. B⊂A А⊂В бол А, В олонлогуудыг тэнцүү олонлогууд гээд А=В гэж тэмдэглэнэ.

Леонард Эйлер (1707-1783). Олонлогуудын хоорондох харьцааг Эйлерийн дугуй (Веннийн диаграмм гэж нэрлэх нь бий) гэгдэх онцгой зураглалаар дүрсэлдэг.

Хэрэв А ба В олонлогууд ерөнхий элементтэй боловч аль нь ч нөгөөгийнхөө дэд олонлог болохгүй (a). Хэрэв В олонлог А олонлогийн дэд олонлог болж байвал (в). Хэрэв А олонлог В олонлогийн дэд олонлог болж байвал (с). Хэрэв тэнцүү олонлогууд байвал (d) зураг шиг дүрслэгдэнэ.

ОЛОНЛОГУУДЫН НЭГДЭЛ
Зөвхөн А, эсвэл В олонлогт харъяалагдах элементүүдээс бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогийн нэгдэл гэнэ. А ба В олонлогийн нэгдлийг A∪B гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлолт ёсоор

A∪B={x|x∈A эсвэл х∈В}
Хэрэв А ба В олонлогийн элементүүд тоочиж өгөгдсөн бол олонлогийн элементийг олохдоо А эсвэл В олонлогт харъяалагдах элементүүдийг тоочиход л хангалттай.

ОЛОНЛОГУУДЫН ОГТОЛЦЛОЛ

А олонлогт ч , В олонлогт ч харъяалагдах элементүүдээс бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогийн огтлолцол гэнэ. А ба В олонлогийн огтлолцлыг A∩B гэж тэмдэглэдэг. Тодорхойлолт ёсоор A∩B={x|x∈A ба x∈B }гэж бичнэ.

Хэрэв А ба В олонлогийг Эйлер Веннийн дугуйгаар дүрсэлбэл өгөгдсөн олонлогуудын огтолцлол зурааслагдсан хэсэг болно.

А ба В олонлог ерөнхий элементгүй үед тэдгээрийн огтлолцлыг хоосон гээд A∩B=∅ гэж тэмдэглэнэ.
Хэрэв А ба В олонлогийн элементүүдийг тоочсон бол олонлогийг олохдоо А ба В олонлогт хоёуланд нь харъяалагдах элементүүдийг , ө.х тэдгээрийн ерөнхий элементийг тоочиход хангалттай.

ОЛОНЛОГУУДЫН ЯЛГАВАР , ГҮЙЦЭЭЛТ

А олонлогт харьяалагддаг боловч, В олонлогт харьяалагддагүй элементүүдээс зөвхөн бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогуудын ялгавар гэнэ. А ба В олонлогийн ялгаврыг А\ В гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлолт ёсоор A∖B={x|x∈A ба x∉B} байна.
Хэрэв В олонлог нь А олонлогийн дэд олонлог болж байвал А\В ялгаварыг В олонлогийн А олонлог хүртэлх гүйцээлт гэх ба В А гэж тэмдэглэдэг.
А-д харъяалагддаг ба В-д харьяалагддаггүй элементүүдээс бүрдэх олонлогийг В олонлогийн А олонлог хүртэлх гүйцээлт гэнэ.

ОЛОНЛОГИЙГ АНГИУДАД ХУВААХ НЬ

Олонлогийн ямар ч хуваалт нь тухайн олонлогийн элементүүдийг дэд олонлогуудад хуваах замаар үүсэж буй болно. Энэ үед дараах нөхцөлийг хангаж байвал Х олонлогийг                       Х1 , Х2, .........Хn ангицдад хуваасан хуваалт гэнэ. Үүнд:

1. Х1 , Х2, .........Хn дэд олонлогууд хоорондоо үл огтлолцоно.

2. Х1 , Х2, .........Хn дэд олонлогуудын нэгдэл Х олонлог байна.

Олонлогийг ангиудад хуваах нь түүний дэд олонлогийг ялгах үйлдэл учир ангиудад хуваах үйлдлийг элементийн шинж чанараар гүйцэтгэж болно.